سؤال الدرس
اربط دلوًا صغيرًا يحتوي على ماء بحبل وحرّكه بسرعة في دائرة رأسية فوق رأسك. عند أعلى نقطة يكون الدلو مقلوبًا ومع ذلك لا ينسكب الماء. توقّع قبل أن تستمر:
(أ) عند أعلى نقطة، ما الذي يُبقي الماء داخل الدلو؟
(ب) هل توجد أقل قيمة للسرعة عند أعلى نقطة يتسرب الماء دونها؟
حرّك دلو الماء في دائرة رأسية
قلّل السرعة عند القمة شوية شوية، وشوف الماء بيبدأ ينسكب فين بالظبط. وقّف الدلو عند القاع أو الجانب أو القمة علشان تشوف القوى ومعادلتها.
وقّف الدلو عند:
- موضع الدلو
- —
- السرعة الآن v
- —
- أقل سرعة عند القمة vmin = √(gr)
- —
- العجلة المركزية v²/r
- —
- قوة الشد T
- —
في المحاكاة السرعة بتتغير حوالين الدائرة حسب حفظ الطاقة: أكبر حاجة عند القاع وأقل حاجة عند القمة — علشان كده الحركة في دائرة رأسية مش منتظمة.
من الملاحظة إلى النموذج
قد يبدو للوهلة الأولى أن قوة صاعدة لازمة لإبقاء الماء في الدلو عند الأعلى، لكن فيديو الحركة البطيئة يُظهر خلاف ذلك: القوة المحصلة المطلوبة تتجه نحو مركز المسار الدائري، وهو عند الأعلى إلى أسفل رأسيًا.
عند القاع
T − mg = mv²r∴ T = mv²r + mgالشد هنا أكبر ما يمكن.
عند الجانب (المستوى الأفقي للمركز)
T = mv²rالوزن هنا عمودي على الخيط فمبيدخلش في معادلة المركز.
عند القمة
T + mg = mv²r∴ T = mv²r − mgالشد هنا أقل ما يمكن.
البندول المخروطي
غيّر طول الخيط والزاوية
كبّر الزاوية θ وشوف السرعة والشد بيزيدوا إزاي. شغّل «تحليل الشد» علشان تشوف المركبتين.
- نصف القطر r = l sinθ
- —
- الشد T = mg / cosθ
- —
- القوة المركزية T sinθ
- —
- السرعة v
- —
- الزمن الدوري
- —
معادلات البندول المخروطي
(1) الاتجاه الأفقي (نحو المركز)
T sinθ = mv²r(2) الاتجاه الرأسي (اتزان)
T cosθ = mgبقسمة (1) على (2)
tanθ = v²rgلاحظ: الكتلة اختصرت، يعني الزاوية بتعتمد على السرعة ونصف القطر بس مش على الكتلة.
كرة على السطح الداخلي لوعاء مخروطي
غيّر ميل المخروط ونصف قطر المسار
θ هنا هي زاوية ميل الخط المائل للمخروط على الأفقي (زي المثال المحلول). جرّب تغيّر الكتلة: هتلاقي السرعة مبتتغيرش!
- رد الفعل N = mg / cosθ
- —
- السرعة v = √(gr tanθ)
- —
- الزمن الدوري
- —
- ارتفاع الكرة فوق رأس المخروط
- —
خطوات الحل كما في المثال المحلول
الاتزان الرأسي
N cosθ − mg = 0 ⇒ N = mgcosθالاتجاه القطري (نيوتن الثاني)
mv²r = N sinθ = mg tanθv = √(gr tanθ)الزمن الدوري
T = 2πrv = 2π√(rg tanθ)- السرعة مستقلة عن الكتلة؛ لأن الوزن وقوة رد الفعل العمودي كلاهما يتناسب مع m فتُلغى.
- زيادة نصف القطر r تؤدي إلى زيادة كل من السرعة v والزمن الدوري T.
حلقة القطار الدوار
دورك الآن: الافتراض الذي يُزال في حلقة متغيرة نصف القطر هو أن نصف القطر ثابت في كل أجزاء الحلقة.
شكلان للحلقة، مبدأ فيزيائي واحد
الحلقتين بنفس الارتفاع (20 m). كل عربة داخلة بأقل سرعة تخليها تكمل الحلقة من غير ما تسيب المسار، ومعاها «هامش أمان» تقدر تزوده. لون المسار بيوضح قوة الضغط على الراكب: أخضر خفيف ← أحمر قوي.
الدائرة: نصف قطر واحد في كل مكان
الكلوثويد (بيضاوي): صغير بالأعلى وكبير بالأسفل
«×g» معناها القوة العمودية مقسومة على وزن الراكب: N / mg. الرقم 6 عند قاع الحلقة الدائرية هو اللي في الكتاب.
طبيعة العلم: النماذج
- سرعة العربة تُحدد وفقًا لقانون حفظ الطاقة، لا وفقًا لما يحدده الراكب.
- عند قمة الحلقة الدائرية تحتاج العربة إلى أقل سرعة v² = gr، وعند القاع تكون N = mg + mv²/r حوالي ستة أضعاف الوزن.
- في عام 1895 كانت الحلقة الدائرية الصغيرة «فليب-فلاب رايلواي» مثيرة لكنها غير مريحة وخطيرة، وفي عام 1901 استخدمت «لوب-ذا-لوب» حلقة بيضاوية أكثر انسيابية لتقليل القوى على الركاب.
بنك المسائل المتجددة
كل مرة تدوس «مسألة جديدة» هتطلع فكرة مختلفة بأرقام جديدة. اكتب الإجابة رقم بس (بالأرقام العادية أو العربي) واضغط «تحقق». مسموح بفرق تقريب بسيط.