الظاهرة: العبّارة والتيار
شكل (2.1.1) و(11.1.1)سؤال الدرس
لماذا ترسو عبّارة موجَّهة مباشرة عبر النيل عند نقطة في اتجاه مصب النيل بمسافة؟
لماذا يترك المطر المتساقط خطوطًا مائلة على نافذة حافلة متحركة؟
توقّع (أ): مع عدم تغيير (ثبات) إعدادات محرك العبّارة أبدًا، إذا أصبح تيار النهر أسرع، فهل سيستغرق العبور زمنًا أطول أم نفس الزمن أم زمنًا أقصر؟
سرعة العبّارة بالنسبة إلى الأرض هي المحصلة لكلٍّ من سرعتها في الماء الساكن وسرعة تيار النهر، من مقدمة العبّارة إلى مؤخرتها. لذا يميل مسارها باتجاه مجرى النهر رغم أن مقدمتها لا تنحرف أبدًا.
إجابة التوقّع (أ): نفس الزمن. زمن العبور بيتحدد من مركبة العبور بس (سرعة المحرك العمودية على الضفة). التيار الأسرع بيزوّد مسافة الانحراف ناحية المصب، لكن مابيأخّرش الوصول للضفة التانية. جرّبها بنفسك تحت 👇
اعبر النيل بالعبّارة
⏱ الحركة مُسرَّعة للتوضيح، والزمن المكتوب هو الزمن الحقيقي للعبور. الخط المنقّط الباهت = المحاولة السابقة علشان تقارن.
السرعة كمية متجهة
السرعة كمية متجهة
تصف كلمة السرعة (velocity) مقدار سرعة الجسم والاتجاه الذي يتحرك فيه معًا – فهي كمية متجهة تُمثَّل بسهم.
عندما يكون لجسم واحد مركبتا سرعة تتراكب الأسهم من الرأس إلى الذيل لتكوّن سرعة محصلة واحدة:
مصطلح: السرعة المحصلة
متجه السرعة الواحد الذي له المسار نفسه لمتجهي سرعة مُركَّبين معًا.
يجب جمع متجهات السرعة هندسيًا لإيجاد المحصلة؛ ولا يصح الجمع الجبري البسيط للمقادير إلا عندما تكون المتجهات على استقامة واحدة.
زمن العبور والانحراف
مركبة العبور وحدها تحدد زمن العبور، بينما تحدد المركبة الطولية مقدار الانحراف مع مجرى النهر.
سؤالين سريعين
استكشف: ارسم عملية العبور
شكل (3.1.1) و(4.1.1)ما ستفعله: تقيس أطوالًا وتحدد نمطًا
يُمسك الزميل (أ) الورقة مسطَّحة تحت المسطرة ويسحبها في خط مستقيم نحو صدره بزاوية قائمة على المسطرة، وفي التوقيت نفسه يحرّك الزميل (ب) القلم على طول المسطرة. القلم بيتحرك على المسطرة بس… طب ليه الخط اللي على الورقة طالع مايل؟ وهل طوله = العبور + السحب؟
المعمل الافتراضي
كل محاولة مدتها ٣ ثواني. القياسات بالسنتيمتر، والمسار المائل بيتقاس زي ما بتقيسه بالمسطرة (بفرق صغير في القراءة).
| المحاولة | العبور a (cm) | السحب b (cm) | المسار المائل المقاس c (cm) | √(a² + b²) (cm) | a + b (cm) |
|---|
من الملاحظة إلى النموذج
في نشاط الاستكشاف تحرّك قلم الحبر على طول المسطرة فقط، ومع ذلك جاء مساره على الورقة مائلًا. ودائمًا ما يتطابق طول المسار المائل المقاس مع القيمة √((السحب)² + (العبور)²) لا مجرد المجموع البسيط (المجموع الجبري) لمسافتي العبور والسحب.
يعني الحركتين المتعامدتين بيتركبوا زي ضلعي مثلث قائم الزاوية، والمسار المائل هو الوتر: c² = a² + b²
حلّل ما جمعته
sin ولا cos؟ حساب المثلثات للسرعة
مفتاح حل أي مسألة في الدرسالسهم المايل ده جواه سهمين
طائرة بتطير بسرعة 60 m s⁻¹ بزاوية 30° على الأفقي. جزء من سرعتها بيوديها لقدّام (أفقي)، وجزء بيرفعها لفوق (رأسي). إزاي نحسب كل جزء؟ ونستخدم sin ولا cos؟
السهم المايل هو الوتر في مثلث قائم، والمركبتين هما الضلعين القائمين. الضلع اللي لازق في الزاوية (المجاور) = v cos θ، والضلع اللي قصاد الزاوية (المقابل) = v sin θ. هنا الزاوية مع الأفقي، يبقى: الأفقية = 60 cos 30° = 52 m s⁻¹، والرأسية = 60 sin 30° = 30 m s⁻¹.
المثلث الحي: غيّر الزاوية وشوف مين يبقى cos ومين sin
القواعد اللي هتحل بيها أي مسألة
النسب المثلثية في المثلث القائم
| الدالة | تساوي |
|---|---|
| sin θ (جا) | المقابل ÷ الوتر |
| cos θ (جتا) | المجاور ÷ الوتر |
| tan θ (ظا) | المقابل ÷ المجاور |
ولما نضرب في الوتر (مقدار السرعة v):
القاعدة الذهبية: الـ cos لازق والـ sin قصاد
- حط صباعك على الزاوية θ في الرسم.
- الضلع اللي بيلمس الزاوية (غير الوتر) هو المجاور ← v cos θ
- الضلع اللي بعيد عنها وقصادها هو المقابل ← v sin θ
- مش مهم أفقي ولا رأسي! المهم الزاوية مقاسة من أنهي محور.
الطريق العكسي: من المركبتين للمحصلة والزاوية
في مسائل النهر: الزاوية مع الضفة θ = tan⁻¹(مركبة العبور ÷ سرعة التيار)
وفي المطر: الزاوية عن الرأسي φ = tan⁻¹(سرعة المركبة ÷ سرعة المطر)
⚠ فخاخ الامتحان
- اقرأ الزاوية كويس: «مع الأفقي» غير «مع الرأسي» غير «مع الضفة» غير «عن العمودي».
- الآلة الحاسبة لازم تكون على DEG مش RAD.
- المحصلة دايمًا أكبر من أكبر مركبة وأصغر من مجموعهم: 3 و 4 تدّي 5 مش 7.
- لو السؤال قال «مقدار واتجاه» لازم تكتب الاتجاه (زاوية أو شمال غربي…) مش رقم بس.
- زمن العبور = العرض ÷ مركبة العبور بس، مش ÷ المحصلة.
ترجم السؤال: الكلمة دي معناها إيه؟ وأعمل إيه؟
| لو السؤال قال… | يبقى بيسأل عن | تعمل إيه |
|---|---|---|
| «سرعته بالنسبة إلى الضفة / الأرض» | السرعة المحصلة | فيثاغورث v = √(v₁² + v₂²) |
| «الزاوية التي يصنعها مع الضفة» | اتجاه المحصلة | tan⁻¹(مركبة العبور ÷ التيار) |
| «الزمن اللازم للعبور» | مركبة العبور بس | t = العرض ÷ مركبة العبور |
| «على أي مسافة أسفل النهر / الانحراف» | المركبة الموازية للضفة | x = سرعة التيار × t |
| «الارتفاع الذي تكتسبه» | المركبة الرأسية × الزمن | h = v sin θ × t (θ مع الأفقي) |
| «المسافة الأفقية» | المركبة الأفقية × الزمن | x = v cos θ × t (θ مع الأفقي) |
| «كما يراها / بالنسبة لراكب / لمراقب في…» | سرعة نسبية | v_AB = v_B − v_A (اطرح سرعة المراقب) |
| «يبدو المطر مائلًا بزاوية … عن الرأسي» | مثلث المطر | tan φ = سرعة المركبة ÷ سرعة المطر |
| «مقدار واتجاه» | متجه كامل | رقم + وحدة + اتجاه |
خطوات حل أي مسألة (بالترتيب)
- ارسم السهمين ومحورين x و y.
- ترجم السؤال من الجدول اللي فوق: المطلوب محصلة؟ مركبة؟ زمن؟ نسبية؟
- حدّد نوع المعطيات: سهم واحد بزاوية ← حلّل لمركبتين. سهمين متعامدين ← ركّب بفيثاغورث. مراقب متحرك ← اطرح سرعته.
- بص الزاوية مقاسة من فين، وطبّق «الـ cos لازق والـ sin قصاد».
- راجع المنطقية: المحصلة أكبر من كل مركبة وأصغر من مجموعهم، والوحدة صح، والاتجاه مكتوب.
تدريب «cos ولا sin؟» — تمرين سريع ومتجدد
مدرّب المسائل: مسألة جديدة بأرقام مختلفة كل مرة
اكتب الرقم بس (تقبل الأرقام العربية والإنجليزية)، والتصحيح بيقبل فرق تقريب صغير.
تحليل السرعة إلى مركبتين
شكل (5.1.1) و(13.1.1)تطبيق سريع من الكتاب
تتحرك طائرة بسرعة ثابتة مقدارها 60 m s⁻¹ بزاوية 30° على الأفقي. أوجد الارتفاع الذي تكتسبه خلال 5.0 s.
الارتفاع بيتحسب من المركبة الرأسية بس. الزاوية مع الأفقي، والرأسية قصاد الزاوية ← sin:
اسحب رأس السهم بإصبعك أو بالماوس
كل مربع في الشبكة = 10 m s⁻¹. لاحظ الإشارة: المركبة بتبقى سالبة لما تكون عكس اتجاه المحور الموجب.
صندوق المعادلات
تحليل السرعة إلى المركبتين
يمكن تحليل أي سرعة إلى مركبتين متعامدتين على أحد المحورين vₓ = v cos θ بينما على المحور الآخر vᵧ = v sin θ
تعامل مع كل محور على حدة، ثم أعد التركيب باستخدام v = √(vₓ² + vᵧ²)
نقطة
يتم تحليل v إلى مركبتين متعامدتين في اتجاهي المحورين x و y. إذا كانت v هي المقدار، و θ هي الزاوية بين v ومحور x فإن: vₓ = v cos θ و vᵧ = v sin θ. وتُعطى إشارة موجبة أو سالبة لمقدار كل مركبة للدلالة على اتجاهها على طول محور الإحداثيات.
من التمرين
المطر والحافلة: ماذا يرى المراقب المتحرك؟
شكل (1.1.1) و(6.1.1) و(7.1.1)توقّع (ب)
المطر في الخارج بيسقط رأسيًا تمامًا. من داخل الأتوبيس (الحافلة) المتحرك، هل الخطوط المائلة للمطر قادمة من أمام الأتوبيس أم من خلفه؟
المطر كما يراه راكب الأتوبيس (الحافلة) هو سرعة المطر بالنسبة إلى الأرض مطروحًا منها سرعة الأتوبيس – ولذلك فإن المطر الذي يكون عموديًا (رأسيًا) في الإطار المرجعي للأرض يبدو مائلًا للمراقب من داخل الحافلة.
يعني القطرات بتبان جاية من قدّام الأتوبيس، وبتسيب على الزجاج خطوط مايلة للخلف.
بدّل الإطار المرجعي
🐢 حركة المطر مُبطّأة للتوضيح.
السرعة النسبية
ماذا يرى المراقب المتحرك؟
تختلف السرعة المقاسة بمقدار سرعة المراقب. والسرعة النسبية لـ B بالنسبة إلى A هي سرعة B مطروحًا منها سرعة A، أي سرعة الجسم المُراقَب مطروحًا منها سرعة المراقِب.
ليه الخطوط بتميل للخلف؟
فالمطر في إطار الأرض يسقط رأسيًا تمامًا، لكن بطرح السرعة الخاصة بالقطار المتحرك من سرعة سقوط المطر، يميل سهم الفرق إلى الخلف.
مسائل المطر
في سياق جديد: الهبوط عبر الرياح
شكل (10.1.1) — مطار برج العربدورك الآن
في ظهيرة يوم عاصف بمطار برج العرب تهب الرياح عبر المدرج بينما يستعد الطيار للهبوط. فسِّر لماذا يجب أن يوجّه الطيار مقدمة الطائرة بعيدًا عن اتجاه المدرج رغم أن الطائرة يجب أن تسير بالضبط على طول المدرج.
لأن سرعة الطائرة بالنسبة للأرض = سرعتها في الهواء + سرعة الرياح (جمع متجهات). لو المقدمة على خط المدرج، الرياح الجانبية هتزقّها بعيد عن خط الوسط — نفس مشكلة العبّارة. فالطيار يوجّه المقدمة قليلًا في اتجاه الرياح بحيث تلغي مركبة سرعة الطائرة المضادة للرياح سرعة الرياح، فتطلع المحصلة على طول المدرج بالضبط.
انت الطيار: لفّ مقدمة الطائرة واهبط على خط المنتصف
الإزاحة الجانبية مكبَّرة للتوضيح، والحركة مُسرَّعة.
نفس فكرة العبّارة
تعطي سرعة الطائرة في الهواء، من مقدمة الطائرة إلى مؤخرتها، مضافًا إليها سرعة الرياح، نتيجةً موجهةً مباشرةً على طول المدرج. وبسرعة اقتراب تبلغ 220 km h⁻¹ ورياح جانبية تبلغ 40 km h⁻¹ تكون زاوية الانحراف حوالي 10°.
سؤال
السيارتان A و B، وسفينة جاليليو
تمرين (د) وطبيعة العلمتمرين (د)
تتحرك السيارة A شرقًا بسرعة 20 m s⁻¹، وتتحرك السيارة B شمالًا بسرعة 20 m s⁻¹. أوجد اتجاه ومقدار السرعة النسبية للسيارة B بالنسبة إلى السيارة A.
نطرح سرعة المراقب A: v_B − v_A = 20 شمالًا + 20 غربًا (لأن طرح الشرق = إضافة غرب).
الاتجاه: شمال غربي (45° غرب الشمال).
اركب مع السيارة A وشوف B ماشية إزاي
طبيعة العلم: السفينة التي أخفت حركتها
في عام 1632 تخيَّل جاليليو مقصورة أسفل سطح سفينة تُبحر بهدوء: ماء يتساقط، وأسماك في وعاء، وفراشات تحوم. فلا توجد أي ملاحظة داخل المقصورة تكشف ما إذا كانت السفينة ساكنة أم تتحرك بسرعة منتظمة. فما يقيسه المراقب يعتمد على حركة المراقب نفسه، ولا تكون السرعة ذات معنى إلا عندما يتم تحديد الإطار المرجعي.
دورك الآن: اقترح كيف يمكن لمراقبَين دقيقين أن يسجّلا سرعتين مختلفتين لنفس قطرة المطر دون أن يكون أيٌّ منهما مخطئًا.
واحد واقف على الرصيف (إطار الأرض) والتاني راكب قطار متحرك. الأول يقيس سرعة المطر بالنسبة للأرض (رأسي)، والتاني يقيس سرعته بالنسبة للقطار = سرعة المطر − سرعة القطار (مايل وأكبر). الاتنين صح، لأن كل واحد قاس بالنسبة لإطاره المرجعي.
سؤال
اختبر نفسك: أسئلة الدرس كاملة
المثال المحلول، حاول، التمرين، وسؤال بأسلوب الامتحانالنتيجة بتحسب الإجابة الصح من أول محاولة. عايز تتدرب أكتر؟ روح لتبويب «sin ولا cos؟» واستخدم مدرّب المسائل.